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Le critère de Nyquist

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Le but de ce texte est d'essayer de comprendre (et non pas démontrer) le critère de Nyquist. On va tout simplement montrer pourquoi on doit échantillonner à 2 fois la fréquence la plus haute qui doit être enregistrée.


Tout d'abord, un petit rappel sur la numérisation
(au besoin, retournez lire l'article de Feedback sur ce même sujet, c'est ici)

Le principe est de stocker le son en tant que chiffre. Ce procédé est appelé numérisation (rapport aux nombres qui sont une suite de chiffres au cas où vous auriez arrêté l'école avant le primaire !! :-p). Si vous avez été un peu plus loin, vous avez dû vous rendre compte, que lorsque votre prof vous demandait de tracer une courbe, il fallait choisir une certaine quantité de points et les relier ensemble ; le problème, c'était qu'il fallait imaginer la forme de la courbe entre deux points. Le tracé était DISCONTINU. C'est exactement le principe de la numérisation.


Maintenant, on attaque le vif du sujet

Un autre procédé d'enregistrement/restitution discontinue, est le cinéma ; Ce n'est qu'une succession d'images fixes qui défilent à 24 img/s. Nos yeux, bien trop lents pour suivre la cadence, n'y voient que du feu. Le flux d'images discontinues est transformé en animation continue.

Ceci dit, il se pose parfois quelques problèmes : vous avez tous vus un western !! sisi, avec des indiens qui galopent derrière une diligence !! Enfin, en général ce sont les chevaux qui galopent, mais bon !! Il arrive souvent qu'on ait l'impression que les roues de la diligence tournent très lentement et même parfois à l'envers. Cette illusion est due à la vitesse de capture de la caméra.

En admettant que les roues de la diligence possèdent 1 bâton (Ok, c'est pas très réaliste), si cette même roue fait un tour complet en 1/24ième de seconde, les deux images seront identiques, la roue restera fixe, Si elle fait 3/4 de tour pendant le même laps de temps, pour le spectateur, la roue aura faire un quart de tour en arrière, en effet il est plus simple pour le cerveau de penser à ce quart de tour arrière qu'un 3/4 de tour avant. Vérifiez-le-vous même sur l'exemple ci-dessous.

Amenez la souris sur la roue pour la faire tourner de 3/4 de tour en avant

Dans le cas d'un demi-tour, nous sommes à la limite, nous ne pourrons pas savoir si le chariot avance ou recule puisque la rotation est la même dans les 2 sens. Si maintenant la roue réalise un peu moins d'un demi-tour, le cerveau pensera que la roue tourne en avant (c'est le sens le plus court entre les 2 photos). Hé bé enfin ! ! Ça tourne dans le bon sens !

Même chose, mais pour un peu moins d'un demi-tour

On déduit de tout ceci que pour ne pas être trompé par l'image, il est nécessaire que la caméra prenne au MOINS 2 photos par tour. Où je veux en venir ??? Vous devriez commencer à deviner !!!

Remplacez les tours de roue par des oscillations, la caméra par un convertisseur et oubliez vos yeux, maintenant il est temps d'utiliser ses oreilles.. La propriété précédente devient :

Pour que l'oreille ne soit pas trompée, il est nécessaire que le convertisseur prenne au moins 2 photos par oscillation, et c'est exactement ce que signifie le critère de la fréquence de Nyquist.

Ok, c'est bien joli tout ça, mais que se passe-t-il lors d'une "illusion acoustique" de ce type ? J'y viens de suite :

Vous avez donc compris qu'un convertisseur analogique/numérique (CAN) va prendre une "photo" de l'amplitude du son régulièrement et à des instants précis. Ce CAN n'est pas plus intelligent qu'une caméra, lorsque nous avions l'impression que les roues de notre diligence tournaient lentement, maintenant nos oscillations qui étaient à une certaine fréquence vont vibrer plus lentement et ainsi devenir plus graves !

Concrètement, si vous enregistrez un son de 12Khz à une fréquence d'échantillonnage de 10Khz, lors de la lecture, le son sera plus grave et viendra polluer le contenu spectral originel. Pour être exact, vous entendrez le symétrique du son d'origine par rapport à la fréquence d'échantillonnage, soit dans ce cas : 8 Khz. Ceci porte un nom, c'est le "phénomène de repliement du spectre" ou "aliasing". Et c'est en toute logique que les convertisseurs filtrent le signal avant de le convertir.

En forme de conclusion, remarquons que le format CD (44Khz) vérifie bien le critère de Nyquist puisque nous, pauvres humains, entendons seulement jusqu'à 20Khz.

Nota : le critère de Nyquist peut aussi être attribué à Shannon ainsi qu'à un Russe dont j'ai oublié le nom.

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Pipine, le 20-08-1998

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