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Gammes et Mathématiques

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UT (do) queant laxis, Resonare fibris, MIra gestrorum, FAmuli tuorum, SOLve polluti, LAbii reatum, Sanctae Iohannes. Superbe moyen mnémotechnique n'est-ce pas ?


GAMME D'ARISTOXENE OU NATURELLE

Les gammes ont de tout temps préoccupé les musiciens (et même les physiciens). Rapidement, on a observé qu'un tube genre flûte produisait des sons de plus en plus aigus (et sans bouger les doigts). Par exemple, si le son le plus grave est un do en augmentant la puissance du souffle, on va produire successivement un do à un autre do à l'octave supérieure, puis sa quinte juste, puis un do puis, si on a encore du souffle, sa tierce majeure.

C'est pourquoi on a prétendu que l'accord majeur est le seul qui soit consonant puisqu'il résulte de vibrations naturelles . Il va de soi qu'un accord mineur est parfaitement consonant, ce qui prouve les limites de la théorie. Les grecs qui prétendaient que tout était explicable avec les nombres (comme la quadrature du cercle !) ont par division de cordes construit une gamme : la gamme dite d'ARISTOXENE. Soit une corde de longueur L, tendue entre deux points et mise en vibration, elle produira un son, si on ne fait vibrer que la moitié de la corde on aura le même son une octave au dessus. En divisant par 3, 4, etc. puis en ramenant cela sur la même octave on obtient une gamme assez proche de la gamme majeure mais quelques notes sont fausses. Quoiqu'il en soit c'est une gamme.

Note Fréquence Rapport avec
la Fondamentale
Intervalle musical
do1 65,40 1,00 Octave
do2 130,80 1,00 Unisson
sol2 196,20 1,50 Quinte
do3 261,60 1,00  
mi3 327,00 1,25 Tierce Majeure
sol3 392,40 1,50  
sib3 457,80 1,75 Septième Mineure
do4 523,20 1,00  
ré4 588,60 1,13 Seconde Majeure
mi4 654,00 1,25  
fa#4 719,40 1,38  
sol4 784,80 1,50  
sol#4 850,20 1,63  
sib4 915,60 1,75 Septième Mineure
si4 981,00 1,88 Septième Majeure

De la sorte, on arrive à construire une gamme degré par degré dont les rapports avec la fondamentale vont se présenter ainsi :

Note Rapport Intervalle
do    
9/8 Seconde Majeure
mi 5/4 Tierce Majeure
fa 4/3 Quarte Juste
sol 3/2 Quinte Juste
si 15/8 Septième Majeure

Si on compare les intervalles successifs (il suffit de diviser leur fréquence ou leur rapport), on remarque que les intervalles ne sont pas constants : ré do : 9/8/1 = 9/8... On distingue trois sortes d'intervalles dans cette gamme :

ré / do 9/8 Ton Majeur
mi / ré 10/9 Ton Mineur
fa / mi 16/15 Demi-ton Majeur

De sorte que cette gamme n'est pas simplement transposable, et un piano accordé de cette façon ne serait juste qu'en do. L'intérêt de cette gamme ? Quasiment aucun ! Toutefois, c'est la seule dont les accords soient sans battements. Ce n'est pas le cas de la gamme tempérée pour laquelle des battements, grincements (j'exagère) se produisent entre harmoniques voisines.


LA GAMME TEMPÉRÉE

Les instruments à sons fixes ont rendu nécessaire l'utilisation d'une gamme tempérée pour laquelle tous les tons et demi tons sont égaux. En effet pour une guitare, un piano, il fallait absolument que les intervalles entre les sons soient égaux sinon pas de transposition possible.

Le problème est le suivant : on veut 12 demi-tons par octave, c'est à dire qu'on doit trouver un coefficient k tel que partant d'une fréquence donnée, en la multipliant par k, on obtient la fréquence correspondant au demi-ton supérieur et répétant cela 12 fois on doit obtenir le double de la fréquence de base (l'octave). De ce fait le produit kxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk doit donner 2 cela s'écrit aussi :

Donc, (racine douzième de 2), ce coefficient est égal à 1,059463094. Il permet entre autres de placer convenablement les barrettes sur une guitare. Cette gamme a l'avantage d'une certaine universalité, en effet, pas de problème de transposition mais un inconvénient : les accords grincent. Un exemple : accord de do majeur (do mi sol). Chacun des sons de l'accord contient ses propres harmoniques naturelles, qui vont interférer avec les notes de l'accord.

Harmoniques
1,059453 1 2 3 4 5
do 131,00 262,00 393,00 524,00 655,00
mi 165,05 330,10 495,15 660,20 825,25
sol 196,28 392,56 588,83 785,11 981,39

Ces écarts faibles engendrent parfois un battement perceptible et désagréable. Toutefois, l'accordage d'un piano avec cette gamme ne convient pas. En effet, réglé de cette façon, un piano sonnera faux, les aigus notamment paraîtront trop graves. Un piano est normalement accordé par quintes successives puis «fini» à l'oreille. Cet accordage par quintes successives a pour conséquence que les octaves sont légèrement plus hautes qu'elles ne le devraient. Pourtant c'est celui que l'oreille accepte.


GAMME DE PYTHAGORE

On dit que c'est Pythagore qui a «inventé» cette gamme construite par la succession de quintes (que l'on ramène sur la même octave). Pour passer d'une note donnée à sa quinte, il suffit de multiplier sa fréquence par 3/2. Toutefois, il apparaît que l'octave est alors plus haute que ce qu'elle ne devrait.

Ordre 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Coef 1 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2
Fréq 65,00 97,50 146,25 219,38 329,06 493,59 740,39 1110,59 1665,88 2498,82 3748,23 5622,34 8433,51
Oct     73,13 109,69 82,27 123,40 92,55 69,41 104,12 78,09 117,13 87,85 131,77
Note do sol la mi si fa# do# sol# ré# la# fa do

Ainsi, le 2ème do devrait avoir pour fréquence 130 (2 x 65) au lieu de 131.77. Cet écart de 1.77 Hz représente environ un quart de demi-ton, intervalle perceptible par l'oreille et si on extrapolait avec les sept octaves dont dispose un piano, on aura un écart de presque un ton ! Bizarre, et pourtant un piano bien accordé montre de tels écarts.


Pour ma part, j'ai une certaine préférence pour la gamme dite naturelle et je me demande parfois si les dispositifs informatiques actuels ne pourraient pas introduire cette gamme qui serait ajustée en fonction de la tonalité générale d'une musique...

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Bruno CANADAS, le 01-06-2000

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